포물선 위의 임의의 한 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)에 대하여 성립시키면 되겠죠.

포물선 위의 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)의 접선과 준선에 수직인 직선을 그었을 때의 준선과 만나는 점을 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)라고 하고, 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)와 초점을 연결한 선을 이어주고 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)와 초점을 연결한 선분을 그어 삼각형의 모양을 만들면 아래와 같습니다.

여기서 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPB}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{DPF}\)가 같다는 것을 증명하면, 파동이 접선에 대해서 입사각과 반사각은 같게 되므로 증명 종료입니다.

증명해볼까요.

우선 위의 그림을 보고 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PQD}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{DFA}\)에 대해서 살펴봅시다.

\(\displaystyle \angle \mathrm{QPD}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{DAF}\)가 엇각으로 같고, \(\displaystyle \angle \mathrm{PQD}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{DFA}\)가 엇각으로 같으므로 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PQD}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{DFA}\)는 서로 닮음인 삼각형입니다.

그리고 \(\displaystyle \triangle \mathrm{QED}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{DOF}\)를 볼게요.

\(\displaystyle \angle \mathrm{EQD}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{DFO}\)는 엇각으로 서로 같습니다.

그리고 \(\displaystyle \angle \mathrm{QDE}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{ODF}\)는 서로 맞꼭지각으로 같습니다.

그런데 선분 \(\displaystyle \mathrm{QE}\)의 길이와 \(\displaystyle \mathrm{OF}\)의 길이는 초점과 준선과의 관계니까 서로 같아요.

(초점과 꼭지점의 길이인 선분 \(\displaystyle \mathrm{OF}\)와 준선과 \(y\)축의 길이인 선분 \(\displaystyle \mathrm{QE}\)는 서로 같기 때문이죠.)

따라서 \(\displaystyle \triangle \mathrm{QED}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{DOF}\)는 서로 합동이므로 선분 \(\displaystyle \mathrm{QD}\)와 선분 \(\displaystyle \mathrm{DF}\)는 서로 같다는 것을 알 수 있죠.

이번에는 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PDQ}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PDF}\)에 대해서 볼까요?

우선 합동에 의해 선분 \(\displaystyle \mathrm{QD}\)와 선분 \(\displaystyle \mathrm{DF}\)는 서로 같죠. 그리고 포물선의 정의에 의해 선분 \(\displaystyle \mathrm{PF}\)와 선분 \(\displaystyle \mathrm{PQ}\)는 서로 같고, 선분 \(\displaystyle \mathrm{PD}\)는 서로 공통입니다.

따라서 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PDQ}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PDF}\)는 서로 합동이므로 \(\displaystyle \angle \mathrm{QPD}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{DPF}\)는 서로 같은데, \(\displaystyle \angle \mathrm{QPD}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPB}\)는 맞꼭지각으로 서로 같으므로 결국 \(\displaystyle \angle \mathrm{DPF}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPB}\)는 서로 같다는 결론이 나오죠.

결국 임의의 한 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)에 대하여

\[
\displaystyle \angle \mathrm{DPF}=\angle \mathrm{CPB}
\]

이므로 \(\displaystyle \mathrm{BP}\) 방향으로 오는 파동은 초점을 지나는 직선에 대하여 입사각과 반사각이 같으므로 항상 \(\displaystyle \mathrm{PF}\)의 방향으로 반사되어 \(\displaystyle \mathrm{PF}\)의 방향으로 가게 됩니다.

QED.


참고 : 

\begin{aligned}
&\text { 꼭짓점이 원점인 포물선의 한 점 } \mathrm{P} \text { 에서 접선을 그었을 때, }\\
&\text { (1) } \mathrm{y} \text { 축과 만나는 점인 } \mathrm{D} \text { 는 선분 } \mathrm{DO} \text { 의 중점이다. }\\
&\text { (2) 삼각형 } \mathrm{QPF} \text { 는 선분 } \mathrm{PQ}=\mathrm{PF} \text { 인 이등변삼각형이다. }\\
&\text { (3) 포물선 위의 점 } \mathrm{P} \text { 의 접선과 직선 } \mathrm{QF} \text { 는 언제나 수직으로 만나게 된다. }
\end{aligned}

예를 들어, 아래와 같이 초점 \(\displaystyle \mathrm{F}\)에서 타원을 지나는 한 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)를 향해 빛을 쐈을 때, 초점 \(\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}\)를 향해 정확히 반사됩니다.

이것은 당연히 예전에 배웠을 입사각과 반사각의 성질에 의한 것으로,
점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)에서의 접선에서의 입사각과 반사각이 같을 때, 항상 초점을 향하는 것이죠.

이렇게 접선에서의 입사각과 반사각에 대해서 초점을 연결한 두 선분에 대해서 입사각과 반사각이 같음을 증명해봅시다.

아래와 같이 타원을 지나는 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)에 대해서 접선을 그린다면 아래와 같죠.

여기서 \(\displaystyle \angle \mathrm{APF}^{\prime}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPF}\)가 같다는 것을 증명하려 합니다.

우선 아래와 같이 접선에 대하여 점 \(\displaystyle \mathrm{F}\)를 대칭시켜 \(\displaystyle \mathrm{F}_1\)을 만들어 냅시다.

대칭이므로 선분 \(\displaystyle \overline{\mathrm{FF}_1}\)은 접선에 의해 직각이등분됩니다.

따라서 \(\displaystyle \mathrm{F}_1\)과 \(\displaystyle \mathrm{P}\)를 연결하면 아래와 같이 이등변삼각형을 만들 수가 있죠.

이등변삼각형의 성질에 따라서 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPF}_1\)과 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPF}\)는 서로 같겠고, 맞꼭지각에 의해서 \(\displaystyle \angle \mathrm{APF}^{\prime}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPF}_1\)가 서로 같으므로 결론적으로 \(\displaystyle \angle \mathrm{APF}^{\prime}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPF}\)가 같습니다.

Key :  점 \(\displaystyle \mathrm{F}_1\)은 점 \(\displaystyle \mathrm{F}\)를 접선에 대칭이동하여 만들었는데, 점 \(\displaystyle \mathrm{F}_1\)과 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)를 연결한 선분과 선분 \(\displaystyle \mathrm{PF}^{\prime}\)은 한 직선상에 존재하는 것일까요?

아래와 같이 접선상에 존재하는 임의의 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)를 잡아봅시다.

임의의 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)는 접선 위에 존재하는 임의의 점이기 때문에 타원 외부에 존재할 수도 있고, 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)처럼 타원 위에 존재할 수도 있죠.

그러므로

\[\displaystyle \mathrm{QF}+\mathrm{QF}^{\prime}\geq\mathrm{PF}^{\prime}+\mathrm{PF}\]

라고 할 수 있습니다.

(점 \(\displaystyle \mathrm{P}=\mathrm{Q}\)이라면

\[\displaystyle \mathrm{QF}+\mathrm{QF}^{\prime}=\mathrm{PF}^{\prime}+\mathrm{PF}\]

이고, 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\neq\mathrm{Q}\)라면

\[\displaystyle \mathrm{QF}+\mathrm{QF}^{\prime}>\mathrm{PF}^{\prime}+\mathrm{PF}\]

입니다.)

그런데 \(\displaystyle \mathrm{PF}=\mathrm{PF}_1\)이고 \(\displaystyle \mathrm{QF}=\mathrm{QF}_1\)이므로, 임의의 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)에 대하여

\[\displaystyle \mathrm{QF}_1+\mathrm{QF}^{\prime}\geq\mathrm{PF}^{\prime}+\mathrm{PF}_1\]

가 됩니다. (\(\displaystyle \mathrm{F}_1\)이 대칭점이기 때문이죠.)

즉, 접선을 지나는 임의의 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)에 대하여

\[\displaystyle \mathrm{PF}^{\prime}+\mathrm{PF}_1\]

은 항상 최소가 되어야 하는데, 그러려면 \(\displaystyle \mathrm{P}\)가 직선 \(\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}\mathrm{F}_1\) 위에 존재해야 하죠.

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